수학에서 어떤 수의 계승(factorial)은 그 수 이하의 모든 양의 정수의 곱으로 정의됩니다. 즉, n! (n의 계승)은 1 × 2 × 3 × … × n 으로 표현됩니다. 그러나 0보다 작은 양의 정수는 존재하지 않으므로, 0의 계승은 특별한 경우로 취급됩니다. 0보다 작은 양의 정수의 집합은 공집합이므로, 이 집합의 원소들을 배열하는 방법은 오직 한 가지뿐입니다. 이는 공집합의 순열의 수가 1임을 의미하며, 따라서 0! = 1로 정의됩니다. 이는 수학적 귀납법과 여러 가지 조합론적 정리의 일관성을 유지하기 위해 필수적인 정의입니다.
모든 계승은 0으로 끝날까요?
어떤 수의 끝자리가 0인지 여부는 그 수가 10의 배수인지 여부에 따라 결정됩니다. 10은 2와 5의 곱으로 표현되므로, 어떤 수가 10의 배수가 되려면 2와 5를 각각 적어도 한 번씩 인수로 가져야 합니다. 예를 들어, 50, 120, 1234567890은 모두 10의 배수이므로 끝자리가 0입니다. 하지만 10은 각각의 수를 단 한 번만 나누므로, 각 수는 끝자리에 0을 하나씩만 갖습니다. 더 일반적으로, n!의 끝에 붙는 0의 개수는 n!을 소인수분해 했을 때 10의 인수인 2와 5의 개수 중 더 작은 값과 같습니다. 따라서, n이 커짐에 따라 n!의 끝에 붙는 0의 개수도 증가하지만, 모든 n!이 0으로 끝나는 것은 아닙니다. 예를 들어, 1!, 2!, 3!, 4!는 0으로 끝나지 않습니다. 0으로 끝나는 계승의 개수는 무한히 많지만, 0으로 끝나지 않는 계승 또한 무한히 많이 존재합니다. 끝자리 0의 개수는 n을 5로 나눈 몫과 그 몫을 5로 나눈 몫 등을 합산하는 레전더 함수를 통해 계산될 수 있습니다. 이러한 분석은 계승의 성질과 소인수분해의 개념을 통해 더욱 심도 있게 이해할 수 있습니다.
